Cálculo en Variedades - Michael Spivak

Este libro, como todos los de Spivak, es muy sugestivo, y en él acomete con los recursos indispensables, las fórmulas de Stokes sobre variedades exponiendo con gran calridad uno de los temas más difíciles del Cálculo.

Este libro se ocupa esencialmente de aquellas partes del cálculo en las que la sutileza de los conceptos y los métodos hace difícil alcanzar el rigor necesario en un nivel elemental. En la vía que se sigue se hace uso de versiones elementales de métodos modernos propios de la Matemática actual. Los prerrequisitos formales consisten simplemente en algunos conceptos del Álgebra lineal, cierta familiaridad con la notación de la Teoría de conjuntos, y un primer curso de cálculo estudiado a fondo. Además, es esencial una cierta relación, tal vez latente, con la Matemática abstracta.

Tabla de Contenido: [142 Pág.]

Capítulo 1: Funciones en el espacio euclídeo.

Capítulo 2: Diferenciación.

Capítulo 3: Integración.

Capítulo 4: Integración en cadenas.

Capítulo 5: Integración en variedades.

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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Manual práctico para Bachillerato

Hemos unido conceptos, procedimientos y actitudes mediante un método aclaratorio del concepto matemático en todo su fundamento, tal y como lo explicamos en clase, de forma que se convierta para el alumno en un manual útil de preparación para las pruebas, ofreciendo ejercicios selectivos resueltos, ejercicios de práctica de todas las unidades y por supuesto ejercicios propuestos con las soluciones para que el alumnado pueda comprobar lo aprendido.

Pretendemos con este manual, que este último curso de bachillerato de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales, aporte al alumno una visión positiva de las matemáticas, potencie sus cualidades ante la asignatura y anime a la nueva etapa de sus vidas, que comenzará despu´ es de la prueba selectiva: la llegada a la Universidad o bien su debut en el mundo laboral. Esperamos, conclusión, que nuestro esfuerzo aporte un grano de arena a la difícil tarea de la enseñanza de las Matemáticas y suavice la labor de nuestros compañeros.

Tabla de Contenido: [210 Pág.]

• Sistemas de ecuaciones lineales
• Matrices
• Programación lineal
• Límites y continuidad
• Derivadas
• Aplicaciones de las derivadas
• Representación de funciones
• Iniciación a las integrales
• Cálculo de probabilidades
• Distribución normal. Inferencia estadística

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Cálculo II: Cálculo Integral para Bachillerato, 2da Edición

El Cálculo Integral es, pues, la oportunidad para que el alumno sistematice los estu­dios matemáticos elementales y continúe desarrollando las competencias disciplinares de matemáticas, a la vez que le abre la puerta de entrada para cursos superiores de matemáticas que les serán necesarios en una profesión futura.

Considerando que el bachillerato universitario tiene carácter propedéutico, el conte­nido tratado en este texto es de nivel introductorio y elemental, y se desarrolla didáctica­mente de manera intuitiva e informal, enfatizando en aplicaciones sencillas. Así, pues, los autores hemos dejado, deliberadamente, para los niveles de licenciatura la formaliza- ción rigurosa, tan necesaria para la ciencia matemática pero difícil y carente de interés, en la mayoría de los casos, para los estudiantes de la preparatoria.

En esta segunda edición, aunque se hicieron algunos agregados y correcciones, la estructura básica del texto se conserva. De donde, en la primera unidad se estudian los diferenciales, la antiderivada y la integral indefinida y el objetivo de la misma es que el estudiante calcule diferenciales, antiderivadas e integrales indefinidas inmediatas, y las aplique en la formulación y resolución de problemas de su vida cotidiana, y de algu­nas áreas de las ingenierías y las ciencias. En esta unidad la integral es tratada, por razones didácticas, a partir del concepto de antiderivada o primitiva de una función.

En la segunda unidad de aprendizaje, se estudian los métodos y técnicas de in­tegración básicos. Tales como: el cambio de variable, la integración por partes, la sus­titución trigonométrica y la descomposición en fracciones parciales. El objetivo de la unidad es que los estudiantes demuestren algunas formulas básicas de integración y las apliquen reflexivamente al calculo de integrales indefinidas usando diversos métodos y técnicas de integración.

En la tercera unidad de aprendizaje se estudian los cambios acumulados y la in­tegral definida en el marco geométrico del problema del cálculo de áreas. Además, se estudia también el importante Teorema Fundamental del Cálculo como la manera más optima para el cálculo de las integrales definidas y para establecer la relación formal entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. El objetivo de esta unidad es que los estudiantes calculen numéricamente y mediante el teorema fundamental del cálculo las integrales definidas, y las apliquen principalmente en el cálculo de áreas.

Contenido:

Presentación

Dedicatoria y Agradecimientos

Semblanza

Unidad de aprendizaje I. Diferenciales, antiderivadas e integral indefinida

1.1. Historia y problemas del Cálculo Integral

1.2. Diferencial de una función

1.3. Antiderivadas o primitivas de una función

1.4. Integral indefinida

1.5. Aplicaciones de la integral indefinida

Unidad de aprendizaje II. Métodos y técnicas de integración

2.1. Uso de tablas y formularios y propiedades de integración

2.2. Métodos de Integración

2.2.1 Método de sustitución o de cambio de variable

2.2.2 Integración por partes

2.2.3 Integración por sustitución trigonométrica

2.2.4 Integración por fracciones parciales

2.3. Otras Aplicaciones de la integral indefinida

Unidad de aprendizaje III. Cambios acumulados e integral definida

3.1 Cuantificación de cambios acumulados: El problema del área y la distancia

3.2 El área y la Integral definida

3.3 Teorema fundamental del Cálculo

3.4 Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas

Unidad de aprendizaje IV. Aplicaciones de la integral

4.1 Introducción

4.2 Volumen de sólidos de revolución (método del disco)

4.3 Longitud de un segmento de curva

4.4 Otras aplicaciones (basadas en proyectos)

Bibliografía para el estudiante y el profesor

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Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales

Entender bien los resultados mas elementales en los tres ejemplos clásicos de las ecuaciones de la Física Matemática: ECUACIÓN DE ONDAS, ECUACION DEL CALOR Y ECUACIÓN DE LAPLACE.

Conocer, siquiera someramente, las ECUACIONES DE PRIMER ORDEN, su interpretación geométrica y su uso para determinar LOS BUENOS PROBLEMAS para las ecuaciones de segundo orden.

El METODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES, como origen de la disciplina, y tema central del curso, es decir, manipular las series de Fourier para poder leer en ellas propiedades de las soluciones. En este sentido, es útil conocer los problemas de Sturm-Liouville y sus autovalores.

En las condiciones anteriores, el curso 1992-93, se cubrieron:

• El Capítulo 1 esencialmente completo.
• El Capítulo 2 salvo el teorema de Cauchy-Kovalevsky.
• Del Capítulo 3 se suprimié la transformada de Fourier pero el resto se estudió con detalle.
• El Capítulo 4 se estudió completo.
• Del Capítulo 5 se estudió la parte mas elemental, es decir, se omitieron, la solución del problema de Dirichlet en dominios generales por el método de Perron, la cual se explicó sin demostraciones, y los resultados de teoría del potencial elemental.
• Del Capítulo 6 se obtuvieron las soluciones mediante la gaussiana, que se obtuvo como solución autosemejante, y se mostró unicidad de solución acotada por aplicación del principio del máximo.

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